De kurtosis (of gepiektheid) geeft de relatieve piekvorm of vlakheid van een verdeling aan. Een hoge kurtosis wijst op een verdeling met een relatief hoge piek. Een lage kurtosis duidt op een relatief vlakke verdeling.
De kurtosis kan berekend worden met behulp van de volgende formule:
Bereken eenvoudig de kurtosis en andere statitische waarden van een groep getallen met de onderstaande rekentool.
Een hoge kurtosis wijst op een verdeling met lage kans op extreme uitschieters. Dit houdt in dat een relatief groot deel van de variantie veroorzaakt wordt door zeldzame extreme waarden. Een lage kurtosis duidt op een platte verdeling. Hier wordt de variantie voornamelijk veroorzaakt door een groter deel minder extreme waarden. Om de vergelijking met een normale verdeling te vergemakkelijken, wordt meestal de exces kurtosis gehanteerd. De exces kurtosis bevat een correctie van -3 t.o.v. de berekende kurtosis. Deze correctie is het gevolg van het feit dat de kurtosis van een normale verdeling de waarde 3 heeft. Door de waarde van de kurtosis van de normale verdeling als uitgangspunt te nemen, wordt er dus een waarde 3 afgetrokken van de berekende kurtosis. Wanneer er in de regel over kurtosis wordt gesproken, dan wordt meestal de waarde van de exces kurtosis gebruikt.
Het berekenen van de kurtosis kan lastig en tijdrovend zijn. De bovenstaande rekentool zorgt ervoor dat je snel en eenvoudig de kurtosis van een dataset kunt berekenen. Je kunt de kurtosis ook berekenen met een rekenprogramma zoals Excel. Excel bevat de functie KURTOSIS voor het berekenen van de kurtosis van een steekproef. Wanneer je de in Excel berekende (exces) kurtosis wilt toepassen op de gehele populatie, dan kun je deze als volgt herberekenen:
(KURTOSIS(BEREIK)*(n-2)*(n-3)/(n-1)-6)/(n+1)
Hoe bereken je het kurtosis van een groep getallen?
We hebben de volgende getallen reeks:
18, 15, 14, 9, 21, 19, 11, 17, 12, 14
Allereerst berekenen we het gemiddelde van deze reeks getallen. We tellen alle getallen bij elkaar op en delen deze som vervolgens door het aantal getallen:
Gemiddelde = (18 + 15 + 14 + 9 + 21 + 19 + 11 + 17 + 12 + 14) / 10 = 15
We berekenen eerst van iedere getal uit de reeks het verschil t.o.v. het gemiddelde en verheffen dit verschil vervolgens tot de vierde macht.
| (18 - 15)3 | = | 34 | = | 81 |
| (15 - 15)3 | = | 04 | = | 0 |
| (14 - 15)3 | = | -14 | = | 1 |
| (9 - 15)3 | = | -64 | = | 1296 |
| (21 - 15)3 | = | 64 | = | 1296 |
| (19 - 15)3 | = | 44 | = | 256 |
| (11 - 15)3 | = | -44 | = | 256 |
| (17 - 15)3 | = | 24 | = | 16 |
| (12 - 15)3 | = | -34 | = | 81 |
| (14 - 15)3 | = | -14 | = | 1 |
We tellen deze waarden bij elkaar op en de som delen door het aantal getallen. Deze waarde noemen we het vierde centrale moment en we duiden deze aan met het symbool μ4.
μ4 = (81+0+1+1296+1296+256+256+16+81+1)/10 = 328,4
Voor het berekenen van de kurtosis hebben we ook de variantie nodig:
| (18 - 15)2 | = | 32 | = | 9 |
| (15 - 15)2 | = | 02 | = | 0 |
| (14 - 15)2 | = | -12 | = | 1 |
| (9 - 15)2 | = | -62 | = | 36 |
| (21 - 15)2 | = | 62 | = | 36 |
| (19 - 15)2 | = | 42 | = | 16 |
| (11 - 15)2 | = | -42 | = | 16 |
| (17 - 15)2 | = | 22 | = | 4 |
| (12 - 15)2 | = | -32 | = | 9 |
| (14 - 15)2 | = | -12 | = | 1 |
Variantie (σ2) = (9+0+1+36+36+16+16+4+9+1)/10 = 12,8
De kurtosis kunnen we nu berekenen door het vierde centrale moment μ4 te delen door de het kwadraat van de variantie (σ4):
kurtosis = μ4 / σ4 = 328,4 / 12,82 = 2,00
exces kurtosis = kurtosis - 3 = 2,00 - 3 = -1,00